Wstęp

Generator fal wykorzystywany w Instytucie Budownictwa Wodnego jest wyposażony w program WS sterujący ruchem klapy. Ten program potrafi wygenerować tylko najprostrze przebiegi falowe, które nie zawsze spełnieją wymagania pracowników naukowych Instytutu. Na szczęście program WS potrafi odczytać przebiegi falowe zapisane w pliku. Jednak program potrafi przeczytać tylko pliki zapisane we własnym formacie M11. Dlatego była potrzeba napisania programu, który pozwoliłby wygenerować dowolne przebiegi i zapisałby przebiegi ruchu klapy w pliku M11.

Początkowo powstał samodzielny program służący do generowania przebiegów falowych podawanych na klapę generatora fal o nazwie falorob. W 2005 roku został on zintegrowany z programem służącym do analizy offline o nazwie Winfi32. Programem Winfi32 program potrafi wygenerować 4 typy fal, przy czym pierwszy typ (fala regularna) może być generowana dla 4 różnych warunków brzegowych. Oprócz tego każdy typ jest sparametryzowany. Program potrafi zapisać wygenerowany przebieg w pliku o formacie INT (wewnętrzny format plików pomiarowych Instytutu Budownictwa Wodnego PAN), w formacie M11 (wymaganym przez program WS) oraz w pliku tekstowym.

Oprócz tego program Winfi32 potrafi czytać pliki tekstowe, które następnie można zapisać w formacie M11. Pozwala to użyć ten program jako prosty konwerter plików tekstowych na pliki M11. Format plików tekstowych jest bardzo prosty: jest to zapis macierzowy, w którym wiersze są separowane znakiem końca linii (para znaków CR i LF), a kolumny są separowane znakiem tabulatora. Liczby mają format swobodny, a separatorem dziesiętnym musi być znak kropki. Pierwsza kolumna jest czasem. Różnica między drugą wartością pierwszej kolumny a pierwszą wartością pierwszej kolumny jest uznawana za krok czasowy dt.

Generowanie przebiegu falowego

Program Winfi32 pracuje tylko w środowisku Windows 9x/2k/XP. Po uruchomieniu programu na ekranie ukazuje się główne okno programu. Aby wygenerować przebieg falowy należy z nenu Generate wybrać polecenie Kalman models. W oknie dialogowym, które się pojawi, należy wybrać model generacji fali a następnie wypełnić parametry, które są wykorzystywane przez ten model. Naciśnięcie przycisku OK spowoduje uruchomienie odpowiedniej procedury obliczeniowej. Po wygenerowaniu przebiegu zostanie otwarte nowe okno prezentujące ruch klapy w formie graficznej.

Wygenerowany sygnał jest traktowany w programie Winfi32 identycznie jak sygnał pomierzony kartą pomiarową lub wczytany z pliku. Dzięki temu można stosować te same narzędzia analityczne co do sygnałów pomiarowych.

Program sterujący ruchem klapy WS akceptuje tylko przebiegi steruące, które mają watości w zakresie od -0.025 do +0.025. Dlatego program Winfi32 po wygenerowaniu sygnału sterującego ruchem klapy poszukuje wartości ekstremalnych i jeśli znajdzie miejsca, w których wartości przekraczają ten przedział to zmniejsza cały sygnał tak aby, żadna wartość nie wykraczała poza przedział -0.025 ... +0.025.

Obliczenia nowego sygnału (np. ze zmienionymi parametrami generacji) można w każdej chwili powtórzyć przez wygranie polecenia Recalculate z menu Analysis lub przez naciśnięcia klawisza F9.

Wygenerowany przebieg ruchu klapy można zapisać na dysku poleceniem Save as z menu File. W oknie dialogowym z pytaniem o nazwę pliku należy pamiętać o wyborze właściwego formatu pliku. Aby zapisać plik akcetowany przez program WS trzeba wybrać drugi format o nazwie Wave syntesiser (*.M11).

Modele generacji

Część parametrów generacji jest wspólnych. Na przykład wspólnym parametrem jest długość fali wyrażona w metrach oraz głębokość wody również wyrażona w metrach.

Ze względu na możliwości techniczne faloroba trzeba zadbać aby łagodnie "rozpędzić" klapę i łągodnie wygasić drgania na końcu doświadczenia. Z tego względu wszystkie przebiegi są podzielone na 3 etapy: (a) narastenie, (b) przebieg właściwy, (c) wygaszanie. Czasy narastania, pracy i wygaszania nie są podawane w sekundach ale w postaci liczby fal. Pozwala się to uniezależnić od podstawowego okresu fali. Oprócz tego jest jeszcze jeden wspólny parametr, który dotyczy stanu narastania i zanikania. Jest to współczynnik bezwymiarowy, który decyduje o szybkości narastania i opadania. Powiększanie jego wartości powoduje, że sygnał szybciej narasta i zanika.

Fala regularna

Program Winfi32 generuje proces o krotności warunków brzegowych równej 3, dlatego wzory przedstawione poniżej dotyczą procesów o takiej krotności warunków brzegowych.

Fala regularna jest generowana według następującego algorytmu:

Obliczamy częstotliwość kątową i okres fali na podstawie długości fali $L$ i głębokości $h$ :

K = 2 π \frac{h}{L}

ω = \sqrt{\frac{g K tgh (K)}{h}}

T = \frac{2 π}{ω}

Obliczamy współczynnik narastania/zanikania na podstawie podanego współczynnika $eta$ .

η = \frac{eta}{T}

Obliczamy czterowymiarowy proces $A (r)$ dla fazy narastania, stanu ustalonego i zanikania.

A (r) = Φ (Δ t) A (r - 1)

gdzie macierz $Φ (Δ t)$ dana jest wzorem

Φ (Δ t) = e^{- η Δ t} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{η Δ t}{1!} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{{(η Δ t)}^{2}}{2!} & \frac{η Δ t}{1!} & 1 & 0 \\ \frac{{(η Δ t)}^{3}}{3!} & \frac{{(η Δ t)}^{2}}{2!} & \frac{η Δ t}{1!} & 1 \end{matrix}]

Warunek początkowy $A (0)$ obliczamy ze wzoru:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{0} (0) \\ A_{1} (0) \\ A_{2} (0) \\ A_{3} (0) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

Obliczając wartość przemieszczenia klapy możemy jednocześnie obliczać pierwszą, drugą i trzecią pochodną:

[\begin{matrix} A_{3} (r) \\ A_{3}^{'} (r) \\ A_{3}^{''} (r) \\ A_{3}^{'''} (r) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{0} (r) \\ A_{1} (r) \\ A_{2} (r) \\ A_{3} (r) \end{matrix}]

W identyczny sposób obliczamy proces $D (r)$ . Zmienia się jedynie warunek początkowy:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} D_{0} (0) \\ D_{1} (0) \\ D_{2} (0) \\ D_{3} (0) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

Ostatecznie budujemy sygnał zespolony, który dla fazy narastania i stanu ustalonego ma postać:

Z (r) = [x_{a} A_{3} (r) + j [1 - D_{3} (r) + x_{d} A_{3} (r)]] e^{- j ω Δ t r}

a dla fazy zanikania ma postać

Z (r) = [x_{a} A_{3} (r) + j [D_{3} (r) + x_{d} A_{3} (r)]] e^{- j ω Δ t r}

Ruch klapy to część rzeczywista sygnału zespolonego:

x (r) = x_{a} A_{3} (r) cos (ω Δ t r) + [1 - D_{3} (r) + x_{d} A_{3} (r)] sin (ω Δ t r)

i dla zaniku:

x (r) = x_{a} A_{3} (r) cos (ω Δ t r) + [D_{3} (r) + x_{d} A_{3} (r)] sin (ω Δ t r)

Aby zapewnić ciągłość między stanem ustalonym a zanikaniem trzeba policzyć warunki początkowe sygnału $D (r + 1)$ gdzie $r + 1$ punkt jest początkiem fazy zanikania:

[\begin{matrix} D_{0} (r + 1) \\ D_{1} (r + 1) \\ D_{2} (r + 1) \\ D_{3} (r + 1) \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} D_{0} (r) \\ D_{1} (r) \\ D_{2} (r) \\ D_{3} (r) \end{matrix}]

Dla fali regularnej można wybrać jeden z czterech typów warunków początkowych przez, przy czym w jednym z nich można podać wartość parametru. Warunki początkowe zadane są przez wartości parametrów $x_{a}$ i $x_{d}$ . W pierwszym przypadku oba parametry są narzucone i obliczone ze wzorów:

x_{a} = \frac{η^{3}}{3 ω (1 + {(\frac{η}{3 ω})}^{2})}

x_{d} = \frac{η}{4 ω} x_{a}

W drugim przypadku oba parametry są również narzucone i oba mają tę samą wartość obliczoną ze wzoru:

x_{a} = x_{d} = \frac{2 η^{2}}{3}

W trzecim przypadku oba parametry są również narzucone i są równe 0. W czwartym ostatnim przypadku parametr $x_{d}$ jest wyzerowany a parametr $x_{a}$ może być dowolnie podany przez użytkownika.

Generowanie fali losowej

Program Winfi32 generuje falę losową również o krotności warunków brzegowych równej 3, dlatego wzory przedstawione poniżej są szczególnym przypadkiem dla $n = 3$ .

Fala losowa jest generowana według następującego algorytmu:

Obliczamy częstotliwość kątową i okres fali na podstawie długości fali $L$ i głębokości $h$ :

K = 2 π \frac{h}{L}

ω = \sqrt{\frac{g K tgh (K)}{h}}

T = \frac{2 π}{ω}

Obliczamy współczynnik narastania/zanikania na podstawie podanego współczynnika $eta$ .

η = \frac{eta}{T}

Obliczamy czterowymiarowy proces $A (r)$ dla fazy narastania.

A (r) = Φ (Δ t) A (r - 1)

gdzie macierz $Φ (Δ t)$ dana jest wzorem

Φ (Δ t) = e^{- η Δ t} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{η Δ t}{1!} & 1 & 0 & 0 \\ \frac{{(η Δ t)}^{2}}{2!} & \frac{η Δ t}{1!} & 1 & 0 \\ \frac{{(η Δ t)}^{3}}{3!} & \frac{{(η Δ t)}^{2}}{2!} & \frac{η Δ t}{1!} & 1 \end{matrix}]

Warunek początkowy $A (0)$ obliczamy ze wzoru:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{0} (0) \\ A_{1} (0) \\ A_{2} (0) \\ A_{3} (0) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt{\frac{π}{2}} \end{matrix}]

Obliczając wartość przemieszczenia klapy możemy jednocześnie obliczać pierwszą, drugą i trzecią pochodną:

[\begin{matrix} A_{3} (r) \\ A_{3}^{'} (r) \\ A_{3}^{''} (r) \\ A_{3}^{'''} (r) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} A_{0} (r) \\ A_{1} (r) \\ A_{2} (r) \\ A_{3} (r) \end{matrix}]

W identyczny sposób obliczamy proces $D (r)$ . Zmienia się jedynie warunek początkowy:

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} D_{0} (0) \\ D_{1} (0) \\ D_{2} (0) \\ D_{3} (0) \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sqrt{\frac{π}{2}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

Ostatecznie budujemy sygnał zespolony, który dla fazy narastania ma postać:

Z (r) = [x_{a} A_{3} (r) + j [1 - D_{3} (r) + x_{d} A_{3} (r)]] e^{- j ω Δ t r}

Ruch klapy to część rzeczywista sygnału zespolonego:

x (r) = x_{a} A_{3} (r) cos (ω Δ t r) + [1 - D_{3} (r) + x_{d} A_{3} (r)] sin (ω Δ t r)

Teraz proces deterministyczny, odpowiedzialny za "rozbujanie" klapy przechodzi w proces losowy. Oba procesy $A (r)$ i $D (r)$ są generowane według identycznych wzorów dlatego poniższe wzory są podane tylko dla procesu $A (r)$ :

A (r) = Φ (Δ t) A (r - 1) + Q R (r)

gdzie $R (r)$ jest czterowymiarową zmienną losową.

Szukaną macierz (dolną trójkątną) $R$ znajdujemy ze związku:

P - Φ (Δ t) P Φ' (Δ t) = Q Q'

Elementy macierzy $P_{i, j}$ liczymy według wzoru:

P_{i, j} = \frac{p_{n n}}{P_{N, N} 2^{i + j}} (\begin{matrix} i + j \\ j \end{matrix})

gdzie parametr $p_{n n}$ domyślnie przyjmuje się równy 1. W naszym przypadku macierz $P$ dana jest wzorem:

P = \frac{p_{n n} 2^{6}}{20} [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2^{1}} & \frac{1}{2^{2}} & \frac{1}{2^{3}} \\ \frac{1}{2^{1}} & \frac{2}{2^{2}} & \frac{3}{2^{3}} & \frac{4}{2^{4}} \\ \frac{1}{2^{2}} & \frac{3}{2^{3}} & \frac{6}{2^{4}} & \frac{10}{2^{5}} \\ \frac{1}{2^{3}} & \frac{4}{2^{4}} & \frac{10}{2^{5}} & \frac{20}{2^{6}} \end{matrix}]

Dla fazy zanikania generujemy oba procesy $A (r)$ i $D (r)$ według tego samego wzoru:

A (r) = Φ (Δ t) A (r - 1)

Sygnał zespolony dla fazy losowej i dla zanikania ma postać

Z (r) = [A_{3} (r) + j D_{3} (r)] e^{- j ω Δ t r}

a ruch klapy liczymy ze wzoru:

x (r) = A_{3} (r) cos (ω Δ t r) + D_{3} (r) sin (ω Δ t r)

Aby zapewnić ciągłość między stanem narastania a fazą losową trzeba policzyć warunki początkowe sygnału $D (r + 1)$ gdzie $r + 1$ punkt jest początkiem fazy losowej:

[\begin{matrix} D_{0} (r + 1) \\ D_{1} (r + 1) \\ D_{2} (r + 1) \\ D_{3} (r + 1) \end{matrix}] = {[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & η & - η \\ 0 & η^{2} & - 2 η^{2} & η^{2} \\ η^{3} & - 3 η^{3} & 3 η^{3} & - η^{3} \end{matrix}]}^{- 1} [\begin{matrix} \sqrt{\frac{π}{2}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} D_{0} (r) \\ D_{1} (r) \\ D_{2} (r) \\ D_{3} (r) \end{matrix}]

Generowanie fali Stokes'a

Generowanie fali Stokes'a jest bardzo podobne do generowania fali regularnej. Najpierw generowana jest fala regularna z parametrami $x_{a} = 0$ i $x_{b} = 0$ . Obliczony sygnał zespolony oznaczmy tu jako $Z_{1}$ . Zgodnie z wcześniejszymi wzorami jest on równy:

Z_{1} (r) = j (1 - D_{3} (r)) e^{- j ω Δ t r}

dla fazy narastania i stanu ustalonego, a dla fazy zanikania ma postać:

Z_{1} (r) = j D_{3} (r) e^{- j ω Δ t r}

Teraz obliczamy drugą i trzecią potęgę tego sygnału:

Z_{2} (r) = Z_{1} (r) Z_{1} (r)

Z_{3} (r) = Z_{2} (r) Z_{1} (r)

Ostateczny sygnał sterowania klapą uzyskujemy ze wzoru:

x (r) = W_{1} re (Z_{1} (r)) - W_{2} im (Z_{2} (r)) + W_{3} re (Z_{3} (r))

gdzie $W_{1}$ , $W_{2}$ i $W_{3}$ są dowolnymi wagami podanymi przez użytkownika.

W przypadku fali Stokes'a uproszczono obliczanie pochodnej. Po wyznaczeniu sygnału ruchu klapy wywoływana jest funkcja policz_pochodna(), która numerycznie oblicza pochodą tego sygnału.

Różniczkowanie numeryczne

Obliczanie pochodnej dla wygenerowanej fali Stokes'a jest oparte na obliczaniu pochodnej wielomianu aproksymującego. Aby obliczenia były szybkie i aby zminimalizować wpływ aproksymacji (mały stopień uśredniania) wybrano aproksymację wielomianem drugiego stopnia (parabola) rozpiętą na pięciu punktach. Najlepsze efekty daje obliczanie pochodnej gdy brane są dwa punkty wcześniejsze i dwa punkty późniejsze. Takie postępowanie prowadzi do opracowania filtru o skończonej odpowiedzi impulsowej (moving average). Do przeanalizowania takiego filtru można zastosować klasyczną analizę filtrów dyskretnych i pokazać jego własności.

Celem jest znalezienie współczynników paraboli

f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}

która, najbliżej w sensie średniokwadratowym, przechodzi przez punkty: $(x_{- 2}, y_{- 2})$ , $(x_{- 1}, y_{- 1})$ , $(x_{0}, y_{0})$ , $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ . Znając współczynniki paraboli możemy policzyć pochodną w dowolnym punkcie:

f' (x) = a_{1} + 2 a_{2} x

Pełny wzór jest nam potrzebny tylko na krańcach przedziału różniczkowania (dwa pierwsze i dwa ostatnie punkty pomiaru). Dla wszystkich pozostałych punktów liczymy pochodną dla $x = 0$ i stosujemy wzór uproszczony:

f' (x) = a_{1}

Współczynniki paraboli można znaleźć rozwiązując liniowy układ równań w postaci

[\begin{matrix} \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{0} & \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{1} & \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{2} \\ \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{1} & \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{2} & \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{3} \\ \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{2} & \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{3} & \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{0} y_{i} \\ \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{1} y_{i} \\ \sum_{i = - 2}^{2} x_{i}^{2} y_{i} \end{matrix}]

co dla $x_{- 2} = - 2 Δ t$ , $x_{- 1} = - Δ t$ , $x_{0} = 0$ , $x_{1} = Δ t$ , $x_{2} = 2 Δ t$ . daje układ równań w postaci:

[\begin{matrix} 5 & 0 & 10 {Δ t}^{2} \\ 0 & 10 {Δ t}^{2} & 0 \\ 10 {Δ t}^{2} & 0 & 34 {Δ t}^{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} y_{- 2} + y_{- 1} + y_{0} + y_{1} + y_{2} \\ Δ t (- 2 y_{- 2} - y_{- 1} + y_{1} + 2 y_{2}) \\ {Δ t}^{2} (4 y_{- 2} + y_{- 1} + y_{1} + 4 y_{2}) \end{matrix}]

Jak widać są to dwa układy równań. Z jednego wyznaczamy współczynniki $a_{0}$ i $a_{2}$ , a z drugiego $a_{1}$ .

a_{0} = \frac{| \begin{matrix} y_{- 2} + y_{- 1} + y_{0} + y_{1} + y_{2} & 10 {Δ t}^{2} \\ {Δ t}^{2} (4 y_{- 2} + y_{- 1} + y_{1} + 4 y_{2}) & 34 {Δ t}^{4} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 5 & 10 {Δ t}^{2} \\ 10 {Δ t}^{2} & 34 {Δ t}^{4} \end{matrix} |}

2 a_{2} = 2 \frac{| \begin{matrix} 5 & y_{- 2} + y_{- 1} + y_{0} + y_{1} + y_{2} \\ 10 {Δ t}^{2} & {Δ t}^{2} (4 y_{- 2} + y_{- 1} + y_{1} + 4 y_{2}) \end{matrix} |}{| \begin{matrix} 5 & 10 {Δ t}^{2} \\ 10 {Δ t}^{2} & 34 {Δ t}^{4} \end{matrix} |}

a_{1} = \frac{Δ t (- 2 y_{- 2} - y_{- 1} + y_{1} + 2 y_{2})}{10 {Δ t}^{2}}

co daje proste wzory:

a_{0} = \frac{1}{7} y_{0} + \frac{9}{7} \frac{y_{- 1} + y_{0} + y_{1}}{3} - \frac{3}{7} \frac{y_{- 2} + y_{- 1} + y_{0} + y_{1} + y_{2}}{5}

a_{1} = \frac{4}{5} \frac{y_{2} - y_{- 2}}{4 Δ t} + \frac{1}{5} \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2 Δ t}

2 a_{2} = \frac{16}{7} \frac{y_{2} - 2 y_{0} + y_{- 2}}{8 {Δ t}^{2}} - \frac{2}{7} \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2 {Δ t}^{2}}